偏微分 (Partial derivative) 的邏輯

這篇文純粹發數瘟, 極不討好, 純粹記錄。以前讀宏觀經濟學, 會學偏微分 (partial derivative), 如果用於投資, 可以給以下例子:

V是估值 (可以是股或債), 受盈利 (E) 及利率 (r) 影響; d是微分, 可想像為擾動, 而弧型d那抽東西是控制敏感度的系數。

2022年之前利率變動很少, 則只有dr是近乎0, 盈利變動 (第一個term) 主宰了股價變動。

現在利率可變性大, 可想像為dr上落多, 故此前後兩個term都會影響股價。要注意這裏說的利率變動, 不止於央行利率, 還可包含風險溢價。

有一種論點, 即使利率上升, 但因為公司有強勁盈利能力或護城河之類, 所以估值不受影響。如果用偏微分的邏輯, 則輕易被否定。(按: 除非盈利會因利率上升而上升, 通常只有少數金融股在特定情況時 (通常是良性的加息) 會出現這情況)。另外, 那個弧形dV/dr不是固定的, 以估值模型的本質, r越細, 則那抽弧形dV/dr的敏感度系數會變成大負數, 即估值會對利率越敏感。

更細致的是Convexity (凸性),  因為在現金流折現模型 (discounted cash flow, DCF) 或債價計算公式當中, 估值和利率的關係並非線性 (linear)。2008年後, 利率由中高位(2-4%) 移向超低利率 (<2%), 會大幅拉升估值, 其中一個原因是以下公式第3個term的"二次方"作怪 (按: 這是Taylor expansion)。

 

上面公式為什麼會用三角形delta而非d, 因為delta不是少少擾動, 而是一定幅度的移動。

偏微分的概念可用於很多如"A受B, C, D影響, 而B又受C影響..."之類的分析, 可幫助切割清楚因素之間的關係。不要以為投資或經濟沒有外星文字, 當然你不希望聽到, 但聽不到不代表不存在 (掩耳盜鈴), 如果我在更早時候 (10幾年前) 認清這些概念, 成績或會更好, 希望沒有記錄錯上面的東西, 純粹在此記錄, 有錯請告知在下。

[按: partial differential一詞 已改為partial derivative, 這才是正確用字。]